Периметр треугольника. Онлайн калькулятор.

Периметр треугольника по сторонам

Введите длины сторон треугольника

Периметр треугольника по сторонам

Формула периметра треугольника по сторонам

P=a+b+c

Где a, b и c - стороны треугольника

Периметр треугольника по средним линиям

Введите длины средних линий

Периметр треугольника по средним линиям

Формула периметра треугольника по средним линиям

P=MN×2+NK×2+KM×2

Где MN, NK и KM - средние линии треугольника

Периметр треугольника по двум сторонам и углу между ними

Введите стороны и угол между ними

Периметр треугольника по двум сторонам и углу между ними

Формула периметра треугольника по двум сторонам и углу между ними

Где a, b - стороны треугольника, α - угол между сторонами

Периметр прямоугольного треугольника по катету и гипотенузе

Периметр прямоугольного треугольника по катету и гипотенузе

Формула периметра прямоугольного треугольника по катету и гипотенузе

Где a - гипотенуза, b - катет

Периметр прямоугольного треугольника по катетам

Периметр прямоугольного треугольника по двум катетам

Формула периметра прямоугольного треугольника по двум катетам

Где a и b - катеты

Периметр равнобедренного треугольника по основанию и высоте

Периметр равнобедренного треугольника по основанию и высоте

Формула периметра равнобедренного треугольника по основанию и высоте

Где h - высота, a - основание

Периметр равнобедренного треугольника по боковой стороне и основанию

Периметр равнобедренного треугольника по боковой стороне и основанию

Формула периметра равнобедренного треугольника по боковой стороне и основанию

Где b - боковые стороны, a - основание

Периметр равностороннего треугольника по высоте

Периметр равностороннего треугольника по высоте

Формула периметра равностороннего треугольника по высоте

Где h - высота

Периметр равностороннего треугольника по площади вписанной окружности

Периметр равностороннего треугольника по площади вписанной окружности

Формула периметра равностороннего треугольника по площади вписанной окружности

Где S - площадь вписанной окружности

Периметр прямоугольного треугольника по гипотенузе и углу

Периметр прямоугольного треугольника гипотенузе и углу

Формула периметра прямоугольного треугольника по гипотенузе и углу

P=c×sin(α) + c×cos(α)+c

Где с - гипотенуза, α - угол

Периметр прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу

Периметр прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу

Формула периметра прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу

P=b×tg(α)+b+b/cos(α)

Где b - катет, α - прилежащий угол

Периметр прямоугольного треугольника по катету и противолежащему углу

Периметр прямоугольного треугольника по катету и противолежащему углу

Формула периметра прямоугольного треугольника по катету и противолежащему углу

P=a+a/tg(α)+a/sin(α)

Где a - катет, α - противолежащий угол

1. Как найти периметр треугольника, зная три стороны

Просто посчитайте сумму всех сторон.

Как найти периметр треугольника, зная три стороны
Иллюстрация: Лайфхакер
  • P — искомый периметр;
  • a, b, c — стороны треугольника.

2. Как найти периметр треугольника, зная его площадь и радиус вписанной окружности

Умножьте площадь треугольника на 2.

Разделите результат на радиус вписанной окружности.

Как найти периметр треугольника, зная его площадь и радиус вписанной окружности
Иллюстрация: Лайфхакер

3. Как вычислить периметр треугольника, зная две стороны и угол между ними

Сначала найдите неизвестную сторону треугольника с помощью теоремы косинусов:

  • Умножьте одну сторону на вторую, на косинус угла между ними и на 2.
  • Посчитайте сумму квадратов известных сторон и отнимите от неё число, полученное в предыдущем действии.
  • Найдите корень из результата.

Теперь прибавьте к найденной стороне две ранее известные стороны.

Как вычислить периметр треугольника, зная две стороны и угол между ними
Иллюстрация: Лайфхакер
  • P — искомый периметр;
  • b, c — известные стороны треугольника;
  • ɑ — угол между известными сторонами;
  • a — неизвестная сторона треугольника.

4. Как найти периметр равностороннего треугольника, зная одну сторону

Умножьте сторону на 3.

Как найти периметр равностороннего треугольника
Иллюстрация: Лайфхакер
  • P — искомый периметр;
  • a — любая сторона треугольника (напомним, в равностороннем треугольнике все стороны равны).

5. Как вычислить периметр равнобедренного треугольника, зная боковую сторону и основание

Умножьте боковую сторону на 2.

Прибавьте к результату основание.

Как вычислить периметр равнобедренного треугольника, зная боковую сторону и основание
Иллюстрация: Лайфхакер
  • P — искомый периметр;
  • a — боковая сторона треугольника (в равнобедренном треугольнике боковые стороны равны);
  • b — основание треугольника (это сторона, которая отличается длиной от остальных).

6. Как найти периметр равнобедренного треугольника, зная боковую сторону и высоту

Найдите квадраты боковой стороны и высоты.

Отнимите от первого числа второе.

Найдите корень из результата и умножьте его на 2.

Прибавьте к полученному числу две боковые стороны.

Как найти периметр равнобедренного треугольника, зная боковую сторону и высоту
Иллюстрация: Лайфхакер
  • P — искомый периметр;
  • a — боковая сторона треугольника;
  • h — высота (перпендикуляр, опущенный на основание треугольника со стороны противоположной вершины; в равнобедренном треугольнике высота делит основание пополам).

7. Как вычислить периметр прямоугольного треугольника, зная катеты

Найдите квадраты катетов и посчитайте их сумму.

Извлеките корень из полученного числа.

Прибавьте к результату оба катета.

Как вычислить периметр прямоугольного треугольника, зная катеты
Иллюстрация: Лайфхакер
  • P — искомый периметр;
  • a, b — катеты треугольника (стороны, которые образуют прямой угол).

8. Как найти периметр прямоугольного треугольника, зная катет и гипотенузу

Посчитайте квадраты гипотенузы и катета.

Отнимите от первого числа второе.

Найдите корень из результата.

Прибавьте катет и гипотенузу.

Как найти периметр прямоугольного треугольника, зная катет и гипотенузу
Иллюстрация: Лайфхакер
  • P — искомый периметр;
  • a — любой катет прямоугольника;
  • c — гипотенуза (сторона, которая лежит напротив прямого угла).

Определение

Периметром принято называть длину всех сторон многоугольника. Периметр обозначается заглавной латинской буквой P. Под «P» удобно писать маленькими буквами название фигуры, чтобы не запутаться в задачах и ходе решении. 

Важно, чтобы все параметры были переданы в одной единице длины, иначе мы не сможем подсчитать результат. Поэтому для правильного решения необходимо перевести все данные к одной единице измерения.

В чем измеряется периметр:

  • квадратный миллиметр (мм2);
  • квадратный сантиметр (см2);
  • квадратный дециметр (дм2);
  • квадратный метр (м2);
  • квадратный километр (км2);
  • гектар (га).

Как узнать периметр треугольника

Рассмотрим какие существуют формулы, и при каких известных исходных данных их можно применять. 

Если известны три стороны, то периметр треугольника равен их сумме. Этот способ проходят во втором классе.

P = a + b + c, где a, b, c — длина стороны.треугольник

Если известна площадь и радиус вписанной окружности:

P = 2 * S : r, где S — площадь, r — радиус вписанной окружности. треугольник со вписанной окружностью

Если известны две стороны и угол между ними, вычислить периметр треугольника можно так:

P = √ b2 + с2 - 2 * b * с * cosα + (b + с), где b, с — известные стороны, α — угол между известными сторонами.формула вычисления периметра треугольника, если известны две стороны

Если известна одна сторона в равностороннем треугольнике:

P = 3 * a, где a — длина стороны.

Все стороны в равносторонней фигуре равны.равносторонний треугольник

Если известна боковая сторона и основание в равнобедренном треугольнике:

P = 2 * a + b, где a — боковая сторона, b — основание.

Боковые стороны в равнобедренной фигуре равны.равнобедренный треугольник

Если известна боковая сторона и высота в равнобедренном треугольнике:

P = 2 * (√ a2 + h2) + 2 * a, где a — боковая сторона, h — высота.

Высотой принято называть отрезок, который вышел из вершины и опустился на основание. В равнобедренной фигуре высота делит основание пополам.равнобедренный треугольник с известной высотой

Если известны катеты в прямоугольном треугольнике:

P = √ a2 + b2 + (a + b), где a, b — катеты.

Катет — одна из двух сторон, которые образуют прямой угол.прямоугольный треугольник

Если известны катет и гипотенуза в прямоугольном треугольнике:

P = √ c2 - a2 + (a + c), где a — любой катет, c — гипотенуза.

Гипотенуза — сторона, которая лежит напротив прямого угла. прямоугольный треугольник с известными катетом и гипотенузой

Скачать онлайн таблицу

У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу и использовать, как закладку в тетрадке или учебнике, и обращаться к ней по необходимости.

формулы нахождения периметра треугольника

Чтобы ребенок еще лучше учился в школе, запишите его на уроки математики. Лето — прекрасное время, чтобы заниматься ей с удовольствием, в комфортном темпе, без контрольных и оценок за четверть, валяясь дома на полу или за городом на травке.

Вместо скучных параграфов ребенка ждут интерактивные упражнения с мгновенной автоматической проверкой. Наши преподаватели понятно объяснят что угодно — от дробей до синусов — и ответят на вопросы, которые бывает неловко задать перед всем классом. 

Треугольник

Учимся находить периметр треугольника разными способами, а также тренируем полученные знания на примерах задач.

Периметр треугольника

Определение

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон.

Определение

Треугольник — это геометрическая фигура, которая состоит из трех точек (вершин), не лежащих на одной прямой. Эти точки попарно соединены тремя отрезками, которые называются сторонами (ребрами) многоугольника.

Рассмотрим несколько способов нахождения периметра рассматриваемой фигуры. Каждая из предложенных формул опирается на те величины, которые нам уже известны.

Способы нахождения

По трем сторонам

По трем сторонам
Источник: cdn.lifehacker.ru

Если мы уже знаем длину каждого ребра фигуры, расчет периметра будет проходить так:

\(P = a+b+c\)

где a, b и с — это стороны треугольника.

В случае, если нам известны стороны равнобедренного треугольника (у которого два ребра равны), формула для расчета периметра выглядит следующим образом:

\(P=a+2b\) или \(P=a+2c \)

где a — основание фигуры, а b и с — равные ребра.

Треугольник может также быть равносторонним (когда все стороны равны). Тогда P будем находить в соответствии с расчетами:

\(P=3a\)

где a — это любая сторона фигуры.

По площади и радиусу вписанной окружности

По площади и радиусу вписанной окружности
Источник: cdn.lifehacker.ru

Когда нам известна площадь данного многоугольника и радиус вписанной в него окружности, расчет P выглядит так:

\(P=\frac{2S}r\)

где S — площадь фигуры, r — радиус вписанной в нее окружности.

По двум сторонам и углу между ними

По двум сторонам и углу между ними
Источник: cdn.lifehacker.ru

Так как нам известен угол и две стороны, которыми он образован, мы можем найти третью сторону треугольника по теореме косинусов. И потом уже вычислить сумму длин всех ребер фигуры.

Теорема косинусов выглядит так:

\(a^2=b^2+c^2-2bc\times\cos\alpha\)

где α — известный угол.

Тогда формула для расчета периметра всей фигуры в этом случае:

\(P=\sqrt{b^2+c^2-2bc\times\cos\alpha}+b+c\)

По боковой стороне и высоте (для равнобедренного)

По боковой стороне и высоте (для равнобедренного)
Источник: cdn.lifehacker.ru

Возвращаясь к свойствам равнобедренного треугольника, вспоминаем, что высота, проведенная к основанию треугольника из противоположной вершины, является одновременно высотой, биссектрисой и медианой. Это значит, что оба прямоугольных треугольника, которые она образует, равны между собой.

Формула для поиска периметра нашего равнобедренного будет опираться на теорему Пифагора. Пусть 1/2 основания (с) = d. Тогда:

\(d^2=a^2-h^2\)

\(d=\sqrt{a^2-h^2}\)

где a — сторона равнобедренного треугольника и гипотенуза прямоугольного, h — высота равнобедренного и катет прямоугольного.

Не забываем, что d — это лишь половина основания равнобедренного треугольника, поэтому для поиска периметра результат нужно будет умножить на 2.

\(P=2\sqrt{a^2-h^2}+2a\)

По двум катетам (для прямоугольного)

По двум катетам (для прямоугольного)
Источник: cdn.lifehacker.ru

Еще раз вспомним теорему Пифагора для нахождения гипотенузы (обозначим ее буквой с).

\(c^2=a^2+b^2\)

\(c=\sqrt{a^2+b^2}\)

где a и b — катеты треугольника.

Подставляем значение c в формулу для нахождения периметра и получаем:

\(P=\sqrt{a^2+b^2}+a+b\)

Примеры решения задач

Для тренировки полученных знаний, рассмотрим несколько примеров решения задач на поиск периметра треугольника.

Задача №1

Какой P треугольника, если его стороны равны 6 см, 7 см и 3 см.

Решение:

Подставляем в формулу P = a+b+c известные величины и получаем: P = 6+7+3=16 см.

Ответ: 16 см.

Задача №2

Известно, что основание равнобедренного треугольника равно 6 см, а его боковая сторона — 4 см. Найти P фигуры.

Решение:

Для данного случая подходит формула P=a+2b, подствляем значения: \(P=6+4\times2 = 14\) см.

Ответ: 14 см.

Задача №3

Нам известно, что площадь треугольника — 24 см2, а радиус вписанной в него окружности — 8 см. Найти P.

Решение:

В данном случае рассчитывать P будем следующим образом: \(P=\frac{2S}r\). С уже известными нам величинами получаем: \(P=\frac{2\times24}8 = 6\) см.

Ответ: 6 см.

Задача №4

Дан равнобедренный треугольник. Нам известна его боковая сторона (4 см) и высота, опущенная к основанию (2 см). Нужно вычислить периметр фигуры.

Решение:

Мы знаем, что в этом случае P вычисляется, как \(P=2\sqrt{a^2-h^2}+2a\). С имеющимися значениями получается: \(P=2\sqrt{4^2-2^2}+2\times2 = 4\sqrt3+4\) см.

Ответ: P=4\sqrt3+4 см.

Задача №5

Дан прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 7 см. Определить периметр фигуры.

Решение:

В формулу \(P=\sqrt{a^2+b^2}+a+b\) подставляем известные значения: \(P=\sqrt{5^2+7^2}+5+7 = \sqrt{74}+12\) см.

Ответ: \(P=\sqrt{74}+12\) см.

Прежде чем ответить на вопрос о том, как найти периметр треугольника, повторим, что называется периметром треугольника.

Определение.

Периметром треугольника называется сумма длин его сторон.

formula perimetra treugolnika

Формула периметра треугольника для треугольника АВС

\[{P_{\Delta ABC}} = AB + BC + AC\]

Если назвать треугольник другими буквами, формула периметра треугольника, соответственно, тоже будет выглядеть иначе.

kak naytiperime trtreugolnika

Например, формула периметра треугольника MNP:

\[{P_{\Delta MNP}} = MN + NP + MP\]

В общем виде формулу периметра треугольника записывают так:

\[P = a + b + c,\]

где а, b и с — длины сторон треугольника.

Таким образом, чтобы найти периметр треугольника, надо сложить длины всех его сторон.

Примеры.

1) Найти периметр треугольника со сторонами 3 см, 4 см, 5 см.

Решение:

По формуле для нахождения периметра треугольника

\[P = a + b + c,\]

имеем:

\[P = 3 + 4 + 5 = 12(cm)\]

2) Найти периметр треугольника АВС, если АВ=10 см, ВС=12 см, АС=15 см.

Решение:

По формуле

\[{P_{\Delta ABC}} = AB + BC + AC\]

имеем:

\[{P_{\Delta ABC}} = 10 + 12 + 15 = 37(cm)\]

Как найти периметр треугольников отдельных видов — равнобедренного и равностороннего — мы посмотрим позже.

Добавить комментарий