Online rekenmachine.

Zijomtrek van een driehoek

Voer de lengtes van de zijden van de driehoek in

De formule voor de omtrek van een driehoek aan de zijkanten

P = een + b + c

Waar a, b en c de zijden van de driehoek zijn

Omtrek van een driehoek langs de middenlijnen

Voer de lengtes van de middellijnen in

Formule van de omtrek van een driehoek langs de middellijnen

P = MN × 2 + NK × 2 + KM × 2

Waar MN, NK en KM de middellijnen van de driehoek zijn

Omtrek van een driehoek langs twee zijden en de hoek ertussen

Voer de zijkanten en de hoek ertussen in

De formule voor de omtrek van een driehoek aan twee kanten en de hoek ertussen

Waar a, b de zijden van de driehoek zijn, is α de hoek tussen de zijden

Omtrek van een rechthoekige driehoek langs het been en de hypotenusa

Formule van de omtrek van een rechthoekige driehoek langs het been en de hypotenusa

Waar a - hypotenusa, b - been

Omtrek van een rechthoekige driehoek langs de benen

Formule van de omtrek van een rechthoekige driehoek voor twee benen

Waar a en b benen zijn

Omtrek van een gelijkbenige driehoek in basis en hoogte

Formule van de omtrek van een gelijkbenige driehoek naar basis en hoogte

Waar h de hoogte is, is a de basis

Omtrek van een gelijkbenige driehoek langs de laterale zijde en basis

Formule van de omtrek van een gelijkbenige driehoek langs de laterale zijde en basis

Waar b - kanten, a - basis

Omtrek van een gelijkzijdige driehoek in hoogte

Formule omtrekhoogte gelijkzijdige driehoek

Waar h de hoogte is

Omtrek van een gelijkzijdige driehoek door de oppervlakte van de ingeschreven cirkel

Formule van de omtrek van een gelijkzijdige driehoek door de oppervlakte van de ingeschreven cirkel

Waar S het gebied is van de ingeschreven cirkel

Hypotenusa en hoekomtrek van een rechthoekige driehoek

Formule voor de omtrek van een rechthoekige driehoek door hypotenusa en hoek

P = c × zonde (α) + c × cos (α) + c

Waar c de hypotenusa is, is α de hoek

Omtrek van een rechthoekige driehoek langs het been en de aangrenzende hoek

Formule van de omtrek van een rechthoekige driehoek langs het been en de aangrenzende hoek

P = b × bruinen (α) + b + b / cos (α)

Waar b - poot, α - ingesloten hoek

Omtrek van een rechthoekige driehoek langs het been en de tegenoverliggende hoek

Formule van de omtrek van een rechthoekige driehoek langs het been en de tegenovergestelde hoek

P = a + a / tg (α) + a / sin (α)

Waar een - been, α - tegenovergestelde hoek

1. Hoe de omtrek van een driehoek te vinden, door de drie zijden te kennen

Tel gewoon de som van alle kanten.

• P is de vereiste omtrek;
• a, b, c - zijden van de driehoek.

2. Hoe de omtrek van een driehoek te vinden, door de oppervlakte en de straal van de ingeschreven cirkel te kennen

Vermenigvuldig de oppervlakte van de driehoek met 2.

Deel het resultaat door de straal van de ingeschreven cirkel.

3. Hoe de omtrek van een driehoek te berekenen, door de twee zijden en de hoek ertussen te kennen

Zoek eerst de onbekende zijde van de driehoek met behulp van de cosinusstelling:

• Vermenigvuldig de ene zijde met de andere, met de cosinus van de hoek ertussen, en met 2.
• Bereken de som van de kwadraten van de bekende zijden en trek daarvan het getal af dat in de vorige stap is verkregen.
• Zoek de wortel van het resultaat.

Voeg nu de twee eerder bekende zijden toe aan de gevonden zijde.

• P is de vereiste omtrek;
• b, c - bekende zijden van de driehoek;
• ɑ is de hoek tussen de bekende zijden;
• a - onbekende kant van de driehoek.

4. Hoe de omtrek van een gelijkzijdige driehoek te vinden, één zijde bekend

Vermenigvuldig de zijde met 3.

• P is de vereiste omtrek;
• a - elke zijde van de driehoek (onthoud dat in een gelijkzijdige driehoek alle zijden gelijk zijn).

5. Hoe de omtrek van een gelijkbenige driehoek te berekenen, met kennis van de zijkant en basis

Vermenigvuldig de zijde met 2.

Voeg base toe aan het resultaat.

• P is de vereiste omtrek;
• a - de laterale zijde van de driehoek (in een gelijkbenige driehoek zijn de zijden gelijk);
• b - de basis van de driehoek (dit is de zijde die in lengte verschilt van de rest).

6. Hoe de omtrek van een gelijkbenige driehoek te bepalen, met kennis van de zijkant en hoogte

Zoek de zij- en hoogtevierkanten.

Trek de tweede af van de eerste.

Zoek de wortel van het resultaat en vermenigvuldig deze met 2.

Voeg twee kanten toe aan het resulterende nummer.

• P is de vereiste omtrek;
• a - zijkant van de driehoek;
• h - hoogte (loodrecht verlaagd naar de basis van de driehoek vanaf de zijkant van het tegenoverliggende hoekpunt; in een gelijkbenige driehoek deelt de hoogte de basis in tweeën).

7. Hoe de omtrek van een rechthoekige driehoek te berekenen, de benen kennen

Zoek de vierkanten van de benen en tel hun som.

Extraheer de wortel van het resulterende nummer.

Voeg beide benen toe aan het resultaat.

• P is de vereiste omtrek;
• a, b - benen van een driehoek (zijden die een rechte hoek vormen).

8. Hoe de omtrek van een rechthoekige driehoek te vinden, met kennis van het been en de hypotenusa

Tel de vierkanten van de hypotenusa en het been.

Trek de tweede af van de eerste.

Zoek de wortel van het resultaat.

Voeg been en hypotenusa toe.

• P is de vereiste omtrek;
• a - elk been van de rechthoek;
• c - hypotenusa (de zijde die tegenover de rechte hoek ligt).

Definitie

De omtrek is de lengte van alle zijden van de veelhoek. De omtrek wordt aangeduid met een Latijnse hoofdletter P. Onder "P" is het handig om de naam van de figuur in kleine letters te schrijven om niet in de war te raken in de problemen en het verloop van de oplossing.

Het is belangrijk dat alle parameters in één lengte-eenheid worden doorgegeven, anders kunnen we het resultaat niet berekenen. Daarom is het voor de juiste oplossing noodzakelijk om alle gegevens naar één meeteenheid te converteren.

Hoe wordt de omtrek gemeten:

• vierkante millimeter ( mm ²​
• vierkante centimeter ( cm ²​
• vierkante decimeter ( dm ²​
• vierkante meter ( м²​
• vierkante kilometer ( km ²​
• hectare (ha).

Hoe de omtrek van een driehoek te achterhalen

Laten we eens kijken welke formules er zijn en onder welke bekende initiële gegevens ze kunnen worden toegepast.

Als er drie kanten bekend zijn , dan is de omtrek van de driehoek gelijk aan hun som. Deze methode wordt behaald in het tweede leerjaar.

P = a + b + c, waarbij a, b, c de zijlengte is.

Als het gebied en de straal van de ingeschreven cirkel bekend zijn:

P = 2 * S: r, waarbij S het gebied is, r de straal van de ingeschreven cirkel.

Als u twee zijden kent en de hoek ertussen, kunt u de omtrek van de driehoek als volgt berekenen:

P = √ b ²+ met ²- 2 * b * c * cosα + (b + c), waarbij b, c bekende zijden zijn, α de hoek tussen bekende zijden.

Als een zijde in een gelijkzijdige driehoek bekend is:

P = 3 * a, waarbij a de zijlengte is.

Alle kanten in een gelijkzijdige figuur zijn gelijk.

Als de zijkant en basis bekend zijn in een gelijkbenige driehoek:

P = 2 * a + b, waarbij a de zijkant is, b de basis.

De zijkanten in een gelijkbenige figuur zijn gelijk.

Als de flank en de hoogte in een gelijkbenige driehoek bekend zijn:

P = 2 * (√ een ²+ h ²) + 2 * a, waarbij a de zijkant is, h de hoogte is.

Het is gebruikelijk om hoogte een segment te noemen dat uit de bovenkant kwam en naar de bodem zakte. In een gelijkbenige figuur deelt de hoogte de basis in tweeën.

Als de benen in een rechthoekige driehoek bekend zijn:

P = √ een ²+ b ²+ (a + b), waarbij a, b - benen.

Het been is een van de twee zijden die een rechte hoek vormen.

Als het been en de hypotenusa in een rechthoekige driehoek bekend zijn:

P = √ c ²- een ²+ (a + c), waarbij a een been is, c de hypotenusa.

De hypotenusa is de zijde die tegenover de rechte hoek ligt.

Download een online spreadsheet

Elke geometrische figuur heeft veel formules - het kan heel moeilijk zijn om alles tegelijk te onthouden. Het regelmatig oplossen van problemen en het regelmatig bekijken van formules kunnen hierbij helpen. U kunt deze tabel afdrukken en als bladwijzer in een notitieboekje of leerboek gebruiken en er zo nodig naar verwijzen.

Om uw kind nog beter te maken op school, kunt u hem inschrijven voor wiskundelessen. De zomer is een geweldige tijd om het met plezier te doen, in een comfortabel tempo, zonder tests en cijfers voor een kwartier, thuis liggend op de grond of op het gras buiten de stad.

In plaats van saaie alinea's wacht het kind op interactieve oefeningen met onmiddellijke automatische controle. Onze docenten zullen alles, van breuken tot sinussen, duidelijk uitleggen en vragen beantwoorden die gênant kunnen zijn om te stellen voor de hele klas.

We leren de omtrek van een driehoek op verschillende manieren te vinden, en trainen ook de opgedane kennis op voorbeelden van taken.

Omtrek van een driehoek

Definitie

De omtrek van een driehoek is de som van de lengtes van al zijn zijden.

Definitie

Een driehoek is een geometrische vorm die bestaat uit drie punten (hoekpunten) die niet op één rechte lijn liggen. Deze punten zijn paarsgewijs met elkaar verbonden door drie segmenten, die zijden (randen) van de veelhoek worden genoemd.

Overweeg verschillende manieren om de omtrek van de figuur in kwestie te vinden. Elk van de voorgestelde formules is gebaseerd op de waarden die we al kennen.

Methoden om te vinden

Aan drie kanten

Als we de lengte van elke rand van de vorm al kennen, is de berekening van de omtrek als volgt:

\ (P = a + b + c \)

Waar a, b и сZijn de zijkanten van de driehoek.

Als we de zijden van een gelijkbenige driehoek kennen (die twee gelijke randen heeft), is de formule voor het berekenen van de omtrek als volgt:

\ (P = a + 2b \) of \ (P = a + 2c \)

Waar aIs de basis van de figuur, en b и с- gelijke ribben.

Een driehoek kan ook gelijkzijdig zijn (als alle zijden gelijk zijn). Dan wordt P gevonden volgens de berekeningen:

\ (P = 3a \)

Waar aIs aan weerszijden van de figuur.

Op oppervlakte en straal van de ingeschreven cirkel

Als we de oppervlakte van een gegeven polygoon en de straal van de ingeschreven cirkel kennen, ziet de berekening van P er als volgt uit:

\ (P = \ frac {2S} r \)

waarbij S de oppervlakte van de figuur is, r de straal van de ingeschreven cirkel.

Aan twee kanten en de hoek ertussen

Omdat we de hoek en de twee zijden kennen waarmee het wordt gevormd, kunnen we de derde zijde van de driehoek vinden door de cosinusstelling. En bereken dan de som van de lengtes van alle randen van de figuur.

De cosinusstelling ziet er als volgt uit:

\ (a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2-2bc \ tijden \ cos \ alpha \)

waarbij α een bekende hoek is.

Dan de formule voor het berekenen van de omtrek van de hele figuur in dit geval:

\ (P = \ sqrt {b ^ 2 + c ^ 2-2bc \ tijden \ cos \ alpha} + b + c \)

Lateraal en hoogte (voor gelijkbenig)

Terugkerend naar de eigenschappen van een gelijkbenige driehoek, herinneren we ons eraan dat de hoogte die vanaf het tegenoverliggende hoekpunt naar de basis van de driehoek wordt getrokken, tegelijkertijd de hoogte, deellijn en de mediaan is. Dit betekent dat beide rechthoekige driehoeken die het vormt gelijk zijn aan elkaar.

De formule voor het vinden van de omtrek van onze gelijkbenige zal gebaseerd zijn op de stelling van Pythagoras. Laat 1/2 van de basis ( c) = d. Vervolgens:

\ (d ^ 2 = a ^ 2-h ^ 2 \)

\ (d = \ sqrt {a ^ 2-h ^ 2} \)

Waar a - de zijde van een gelijkbenige driehoek en de hypotenusa van een rechthoekige driehoek, h - de hoogte van de gelijkbenige en de poten zijn rechthoekig.

Vergeet dat niet d - dit is slechts de helft van de basis van een gelijkbenige driehoek, dus om de omtrek te vinden, moet het resultaat worden vermenigvuldigd met 2.

\ (P = 2 \ sqrt {a ^ 2-h ^ 2} + 2a \)

Op twee poten (voor rechthoekig)

Laten we nogmaals de stelling van Pythagoras in herinnering brengen voor het vinden van de hypotenusa (we duiden deze aan met de letter с​

\ (c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 \)

\ (c = \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} \)

Waar a и b- de benen van de driehoek.

Vervang de waarde cin de formule voor het vinden van de omtrek en we krijgen:

\ (P = \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} + a + b \)

Voorbeelden van probleemoplossing

Om de opgedane kennis te trainen, zullen we verschillende voorbeelden bekijken van het oplossen van problemen om de omtrek van een driehoek te vinden.

Probleem nummer 1

Wat is de P van een driehoek als de zijden 6 cm, 7 cm en 3 cm zijn.

Besluit:

We vervangen de bekende waarden in de formule P = a + b + c en we krijgen: P = 6 + 7 + 3 = 16 cm.

Antwoord: 16 cm.

Probleem nummer 2

Het is bekend dat de basis van een gelijkbenige driehoek 6 cm is en de laterale zijde 4 cm. Zoek het P-cijfer.

Besluit:

Voor dit geval is de formule P = a + 2b geschikt, we vervangen de waarden: \ (P = 6 + 4 \ tijden2 = 14 \) cm.

Antwoord: 14 cm.

Probleem nummer 3

We weten dat de oppervlakte van een driehoek 24 cm is ², en de straal van de ingeschreven cirkel is 8 cm. Zoek P.

Besluit:

In dit geval berekenen we P als volgt: \ (P = \ frac {2S} r \) ​Met de waarden die we al kennen, krijgen we: \ (P = \ frac {2 \ times24} 8 = 6 \) cm.

Antwoord: 6 cm.

Probleem nummer 4

Er wordt een gelijkbenige driehoek gegeven. We kennen de laterale zijde (4 cm) en de hoogte verlaagd tot de basis (2 cm). U moet de omtrek van de vorm berekenen.

Besluit:

We weten dat in dit geval P wordt berekend als \ (P = 2 \ sqrt {a ^ 2-h ^ 2} + 2a \) ​Met de bestaande waarden blijkt: \ (P = 2 \ sqrt {4 ^ 2-2 ^ 2} +2 \ tijden2 = 4 \ sqrt3 + 4 \) cm.

Antwoord: P = 4 \ sqrt3 + 4 cm.

Probleem nummer 5

Gegeven een rechthoekige driehoek met poten van 5 cm en 7 cm Bepaal de omtrek van de figuur.

Besluit:

In de formule \ (P = \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} + a + b \) vervang de bekende waarden: \ (P = \ sqrt {5 ^ 2 + 7 ^ 2} + 5 + 7 = \ sqrt {74} +12 \) cm.

Antwoord: \ (P = \ sqrt {74} +12 \) cm.

Voordat we de vraag beantwoorden hoe we de omtrek van een driehoek kunnen vinden, herhalen we wat de omtrek van een driehoek wordt genoemd.

Definitie.

De omtrek van een driehoek is de som van de lengtes van de zijkanten.

Driehoeksomtrekformule voor driehoek ABC

Als u de driehoek met verschillende letters noemt, ziet de formule voor de omtrek van de driehoek er ook anders uit.

De formule voor de omtrek van een driehoek is bijvoorbeeld MNP:

Over het algemeen wordt de formule voor de omtrek van een driehoek als volgt geschreven:

waarbij a, b en c de lengtes van de zijden van de driehoek zijn.

Dus, Om de omtrek van een driehoek te vinden, tel je de lengtes van alle zijden op.

Voorbeelden.

1) Zoek de omtrek van een driehoek met zijden van 3 cm, 4 cm, 5 cm.

Besluit:

Volgens de formule voor het vinden van de omtrek van een driehoek

wij hebben:

2) Bepaal de omtrek van de driehoek ABC als AB = 10 cm, BC = 12 cm, AC = 15 cm.

Besluit:

Volgens de formule

wij hebben:

Hoe we de omtrek van driehoeken van individuele typen kunnen vinden - gelijkbenig en gelijkzijdig - zullen we later zien.