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Seitenumfang eines Dreiecks

Geben Sie die Länge der Seiten des Dreiecks ein

Seitenumfang eines Dreiecks

Die Formel für den Umfang eines Dreiecks an den Seiten

P = a + b + c

Wobei a, b und c die Seiten des Dreiecks sind

Umfang eines Dreiecks entlang seiner Mittellinien

Geben Sie die Länge der Mittellinien ein

Umfang eines Dreiecks entlang seiner Mittellinien

Formel des Umfangs eines Dreiecks entlang der Mittellinien

P = MN × 2 + NK × 2 + KM × 2

Wobei MN, NK und KM die Mittellinien des Dreiecks sind

Umfang eines Dreiecks entlang zweier Seiten und der Winkel zwischen ihnen

Geben Sie die Seiten und den Winkel zwischen ihnen ein

Umfang eines Dreiecks entlang zweier Seiten und der Winkel zwischen ihnen

Die Formel für den Umfang eines Dreiecks auf zwei Seiten und den Winkel zwischen ihnen

Wobei a, b die Seiten des Dreiecks sind, ist α der Winkel zwischen den Seiten

Umfang eines rechtwinkligen Dreiecks entlang des Beins und Hypotenuse

Umfang eines rechtwinkligen Dreiecks entlang des Beins und Hypotenuse

Formel des Umfangs eines rechtwinkligen Dreiecks entlang des Beins und der Hypotenuse

Wo a - Hypotenuse, b - Bein

Umfang eines rechtwinkligen Dreiecks entlang der Beine

Umfang eines rechtwinkligen Dreiecks entlang zweier Beine

Formel des Umfangs eines rechtwinkligen Dreiecks für zwei Beine

Wo a und b Beine sind

Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks in Basis und Höhe

Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks in Basis und Höhe

Formel des Umfangs eines gleichschenkligen Dreiecks nach Basis und Höhe

Wo h die Höhe ist, ist a die Basis

Der Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks entlang der lateralen Seite und der Basis

Der Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks entlang der lateralen Seite und der Basis

Formel des Umfangs eines gleichschenkligen Dreiecks entlang der Seite und der Basis

Wo b - Seiten, a - Basis

Umfang eines gleichseitigen Dreiecks in der Höhe

Umfang eines gleichseitigen Dreiecks in der Höhe

Formel für die Höhe des gleichseitigen Dreiecks

Wobei h die Höhe ist

Umfang eines gleichseitigen Dreiecks durch die Fläche des Beschriftungskreises

Umfang eines gleichseitigen Dreiecks durch die Fläche des Beschriftungskreises

Formel des Umfangs eines gleichseitigen Dreiecks durch die Fläche des Beschriftungskreises

Wobei S die Fläche des Beschriftungskreises ist

Umfang eines rechtwinkligen Dreiecks nach Hypotenuse und Winkel

Umfang einer rechtwinkligen Hypotenuse und Ecke

Formel des Umfangs eines rechtwinkligen Dreiecks nach Hypotenuse und Winkel

P = c × sin (α) + c × cos (α) + c

Wobei c die Hypotenuse ist, ist α der Winkel

Umfang eines rechtwinkligen Dreiecks entlang des Beins und der angrenzenden Ecke

Umfang eines rechtwinkligen Dreiecks entlang des Beins und der angrenzenden Ecke

Formel des Umfangs eines rechtwinkligen Dreiecks entlang des Beins und des angrenzenden Winkels

P = b × tan (α) + b + b / cos (α)

Wobei b das Bein ist, ist α der eingeschlossene Winkel

Umfang eines rechtwinkligen Dreiecks entlang des Beins und der gegenüberliegenden Ecke

Umfang eines rechtwinkligen Dreiecks entlang des Beins und der gegenüberliegenden Ecke

Formel des Umfangs eines rechtwinkligen Dreiecks entlang des Beins und des entgegengesetzten Winkels

P = a + a / tg (α) + a / sin (α)

Wo a das Bein ist, ist α der entgegengesetzte Winkel

1. Wie man den Umfang eines Dreiecks findet, wenn man die drei Seiten kennt

Zählen Sie einfach die Summe aller Seiten.

So finden Sie den Umfang eines Dreiecks, indem Sie die drei Seiten kennen
Abbildung: Lifehacker
  • P ist der erforderliche Umfang;
  • a, b, c - Seiten des Dreiecks.

2. Wie man den Umfang eines Dreiecks findet, wobei man seine Fläche und den Radius des beschrifteten Kreises kennt

Multiplizieren Sie die Fläche des Dreiecks mit 2.

Teilen Sie das Ergebnis durch den Radius des Beschriftungskreises.

So finden Sie den Umfang eines Dreiecks unter Kenntnis seiner Fläche und des Radius des beschrifteten Kreises
Abbildung: Lifehacker

3. Wie man den Umfang eines Dreiecks berechnet, wobei man die beiden Seiten und den Winkel zwischen ihnen kennt

Finden Sie zuerst die unbekannte Seite des Dreiecks mit dem Kosinussatz:

  • Multiplizieren Sie eine Seite mit der anderen, mit dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen und mit 2.
  • Berechnen Sie die Summe der Quadrate der bekannten Seiten und subtrahieren Sie die im vorherigen Schritt erhaltene Zahl davon.
  • Finden Sie die Wurzel des Ergebnisses.

Fügen Sie nun die beiden zuvor bekannten Seiten zur gefundenen Seite hinzu.

So berechnen Sie den Umfang eines Dreiecks, indem Sie die beiden Seiten und den Winkel zwischen ihnen kennen
Abbildung: Lifehacker
  • P ist der erforderliche Umfang;
  • b, c - bekannte Seiten des Dreiecks;
  • ɑ ist der Winkel zwischen den bekannten Seiten;
  • a - unbekannte Seite des Dreiecks.

4. Wie man den Umfang eines gleichseitigen Dreiecks findet, wenn man eine Seite kennt

Multiplizieren Sie die Seite mit 3.

So finden Sie den Umfang eines gleichseitigen Dreiecks
Abbildung: Lifehacker
  • P ist der erforderliche Umfang;
  • a - jede Seite eines Dreiecks (denken Sie daran, dass in einem gleichseitigen Dreieck alle Seiten gleich sind).

5. Wie berechnet man den Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks unter Kenntnis der Seite und der Basis?

Multiplizieren Sie die Seite mit 2.

Fügen Sie dem Ergebnis eine Basis hinzu.

So berechnen Sie den Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks, indem Sie die Seite und die Basis kennen
Abbildung: Lifehacker
  • P ist der erforderliche Umfang;
  • a - die Seite des Dreiecks (in einem gleichschenkligen Dreieck sind die Seiten gleich);
  • b - die Basis des Dreiecks (dies ist die Seite, die sich in der Länge vom Rest unterscheidet).

6. Wie man den Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks findet, wobei man die Seite und die Höhe kennt

Finden Sie die Seiten- und Höhenquadrate.

Subtrahieren Sie die zweite von der ersten Zahl.

Finden Sie die Wurzel des Ergebnisses und multiplizieren Sie es mit 2.

Fügen Sie der resultierenden Zahl zwei Seiten hinzu.

So finden Sie den Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks, indem Sie die Seite und die Höhe kennen
Abbildung: Lifehacker
  • P ist der erforderliche Umfang;
  • a - laterale Seite des Dreiecks;
  • h ist die Höhe (die Senkrechte, die von der Seite des gegenüberliegenden Scheitelpunkts zur Basis des Dreiecks fällt; in einem gleichschenkligen Dreieck teilt die Höhe die Basis in zwei Hälften).

7. Wie man den Umfang eines rechtwinkligen Dreiecks berechnet, wenn man die Beine kennt

Finde die Quadrate der Beine und zähle ihre Summe.

Extrahieren Sie die Wurzel der resultierenden Zahl.

Fügen Sie dem Ergebnis beide Beine hinzu.

Wie man den Umfang eines rechtwinkligen Dreiecks berechnet, wenn man die Beine kennt
Abbildung: Lifehacker
  • P ist der erforderliche Umfang;
  • a, b - Beine eines Dreiecks (Seiten, die einen rechten Winkel bilden).

8. Wie man den Umfang eines rechtwinkligen Dreiecks findet, wobei man das Bein und die Hypotenuse kennt

Zählen Sie die Quadrate der Hypotenuse und des Beins.

Subtrahieren Sie die zweite von der ersten Zahl.

Finden Sie die Wurzel des Ergebnisses.

Bein und Hypotenuse hinzufügen.

Wie man den Umfang eines rechtwinkligen Dreiecks findet, das Bein und die Hypotenuse kennt
Abbildung: Lifehacker
  • P ist der erforderliche Umfang;
  • a - jedes Bein des Rechtecks;
  • c - Hypotenuse (die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite).

Definition

Es ist üblich, den Umfang als die Länge aller Seiten des Polygons zu bezeichnen. Der Umfang wird durch einen lateinischen Großbuchstaben P bezeichnet. Unter "P" ist es zweckmäßig, den Namen der Figur in Kleinbuchstaben zu schreiben, um die Probleme und den Verlauf der Lösung nicht zu verwechseln.

Es ist wichtig, dass alle Parameter in einer Längeneinheit übergeben werden, da wir sonst das Ergebnis nicht berechnen können. Für die richtige Lösung müssen daher alle Daten in eine Maßeinheit konvertiert werden.

Was ist der Umfang gemessen in:

  • Quadratmillimeter ( mm 2);
  • Quadratzentimeter ( cm 2);
  • Quadratdezimeter ( dm 2);
  • Quadratmeter ( м2);
  • Quadratkilometer ( km 2);
  • Hektar (ha).

So ermitteln Sie den Umfang eines Dreiecks

Betrachten wir, welche Formeln existieren und unter welchen bekannten Anfangsdaten sie angewendet werden können.

Wenn drei Seiten bekannt sind dann ist der Umfang des Dreiecks gleich ihrer Summe. Diese Methode wird in der zweiten Klasse bestanden.

P = a + b + c, wobei a, b, c die Seitenlänge ist. \ [{P _ {\ Delta ABC}} = 10 + 12 + 15 = 37 (cm) \]

Wenn die Fläche und der Radius des Beschriftungskreises bekannt sind:

P = 2 * S: r, wobei S die Fläche ist, r der Radius des Beschriftungskreises ist. треугольник со вписанной окружностью

Wenn Sie zwei Seiten und den Winkel zwischen ihnen kennen, können Sie den Umfang des Dreiecks folgendermaßen berechnen:

P = √ b 2+ mit 2- 2 * b * c * cosα + (b + c), wobei b, c bekannte Seiten sind, α der Winkel zwischen bekannten Seiten ist. формула вычисления периметра треугольника, если известны две стороны

Wenn eine Seite in einem gleichseitigen Dreieck bekannt ist:

P = 3 * a, wobei a die Seitenlänge ist.

Alle Seiten in einer gleichseitigen Figur sind gleich. равносторонний треугольник

Wenn die Seite und die Basis in einem gleichschenkligen Dreieck bekannt sind:

P = 2 * a + b, wobei a die Seite ist, b die Basis ist.

Die Seiten in einer gleichschenkligen Figur sind gleich. равнобедренный треугольник

Wenn die laterale Seite und die Höhe in einem gleichschenkligen Dreieck bekannt sind:

P = 2 * (√ a 2+ h 2) + 2 * a, wobei a die Seite ist, h die Höhe ist.

Es ist üblich, Höhe als Segment zu bezeichnen, das aus der Oberseite herauskam und nach unten sank. In einer gleichschenkligen Figur halbiert die Höhe die Basis. равнобедренный треугольник с известной высотой

Wenn die Beine in einem rechtwinkligen Dreieck bekannt sind:

P = √ a 2+ b 2+ (a + b), wobei a, b - Beine.

Das Bein ist eine von zwei Seiten, die einen rechten Winkel bilden. прямоугольный треугольник

Wenn das Bein und die Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck bekannt sind:

P = √ c 2- ein 2+ (a + c), wobei a ein beliebiges Bein ist, c die Hypotenuse ist.

Die Hypotenuse ist die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt. прямоугольный треугольник с известными катетом и гипотенузой

Laden Sie die Online-Tabelle herunter

Jede geometrische Figur hat viele Formeln - es kann sehr schwierig sein, sich alles auf einmal zu merken. Regelmäßige Problemlösungen und häufiges Anzeigen von Formeln helfen dabei. Sie können diese Tabelle drucken und als Lesezeichen in einem Notizbuch oder Lehrbuch verwenden und bei Bedarf darauf verweisen.

формулы нахождения периметра треугольника

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Треугольник

Wir lernen, den Umfang eines Dreiecks auf unterschiedliche Weise zu finden, und trainieren auch das Wissen, das wir anhand von Aufgabenbeispielen gewonnen haben.

Umfang eines Dreiecks

Definition

Der Umfang eines Dreiecks ist die Summe der Längen aller seiner Seiten.

Definition

Ein Dreieck ist eine geometrische Form, die aus drei Punkten (Eckpunkten) besteht, die nicht auf einer geraden Linie liegen. Diese Punkte sind paarweise durch drei Segmente verbunden, die als Seiten (Kanten) des Polygons bezeichnet werden.

Betrachten Sie verschiedene Möglichkeiten, um den Umfang der betreffenden Figur zu ermitteln. Jede der vorgeschlagenen Formeln basiert auf den Werten, die wir bereits kennen.

Methoden zum Finden

Auf drei Seiten

Auf drei Seiten
Quelle: cdn.lifehacker.ru

Wenn wir die Länge jeder Kante der Form bereits kennen, wird der Umfang wie folgt berechnet:

\ (P = a + b + c \)

Wo a, b и сSind die Seiten des Dreiecks.

Wenn wir die Seiten eines gleichschenkligen Dreiecks kennen (dessen zwei Kanten gleich sind), lautet die Formel zur Berechnung des Umfangs wie folgt:

\ (P = a + 2b \) oder \ (P = a + 2c \)

Wo aIst die Basis der Figur, und b и с- gleiche Rippen.

Ein Dreieck kann auch gleichseitig sein (wenn alle Seiten gleich sind). Dann wird P gemäß den Berechnungen gefunden:

\ (P = 3a \)

Wo aIst eine Seite der Figur.

Nach Fläche und Radius des Beschriftungskreises

Nach Fläche und Radius des Beschriftungskreises
Quelle: cdn.lifehacker.ru

Wenn wir die Fläche eines gegebenen Polygons und den Radius des Beschriftungskreises kennen, sieht die Berechnung von P folgendermaßen aus:

\ (P = \ frac {2S} r \)

Dabei ist S die Fläche der Figur, r der Radius des Beschriftungskreises.

Auf zwei Seiten und der Ecke zwischen ihnen

Auf zwei Seiten und der Ecke zwischen ihnen
Quelle: cdn.lifehacker.ru

Da wir den Winkel und die beiden Seiten kennen, unter denen es gebildet wird, können wir die dritte Seite des Dreiecks durch den Kosinussatz finden. Und dann berechnen Sie die Summe der Längen aller Kanten der Figur.

Der Kosinussatz sieht folgendermaßen aus:

\ (a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2-2bc \ times \ cos \ alpha \)

wobei α ein bekannter Winkel ist.

Dann die Formel zur Berechnung des Umfangs der gesamten Figur in diesem Fall:

\ (P = \ sqrt {b ^ 2 + c ^ 2-2bc \ times \ cos \ alpha} + b + c \)

Seitlich und Höhe (für gleichschenklige)

Seitlich und Höhe (für gleichschenklige)
Quelle: cdn.lifehacker.ru

Zurück zu den Eigenschaften eines gleichschenkligen Dreiecks erinnern wir uns, dass die Höhe, die vom gegenüberliegenden Scheitelpunkt zur Basis des Dreiecks gezogen wird, gleichzeitig Höhe, Winkelhalbierende und Median ist. Dies bedeutet, dass beide rechtwinkligen Dreiecke, die es bildet, einander gleich sind.

Die Formel zum Ermitteln des Umfangs unserer gleichschenkligen Elemente basiert auf dem Satz von Pythagoras. Lassen Sie die Hälfte der Basis ( c) = d. Dann:

\ (d ^ 2 = a ^ 2-h ^ 2 \)

\ (d = \ sqrt {a ^ 2-h ^ 2} \)

Wo a - die Seite eines gleichschenkligen Dreiecks und die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, h - Die Höhe der gleichschenkligen und der Beine ist rechteckig.

Vergiss das nicht d - Dies ist nur die Hälfte der Basis eines gleichschenkligen Dreiecks. Um den Umfang zu ermitteln, muss das Ergebnis mit 2 multipliziert werden.

\ (P = 2 \ sqrt {a ^ 2-h ^ 2} + 2a \)

Auf zwei Beinen (für rechteckig)

Auf zwei Beinen (für rechteckig)
Quelle: cdn.lifehacker.ru

Erinnern wir uns noch einmal an den Satz von Pythagoras zum Auffinden der Hypotenuse (wir bezeichnen ihn mit dem Buchstaben с).

\ (c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 \)

\ (c = \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} \)

Wo a и b- die Beine des Dreiecks.

Ersetzen Sie den Wert cin die Formel zum Finden des Umfangs und wir erhalten:

\ (P = \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} + a + b \)

Beispiele für die Problemlösung

Um das gewonnene Wissen zu trainieren, werden wir einige Beispiele zur Lösung von Problemen betrachten, um den Umfang eines Dreiecks zu finden.

Problem Nummer 1

Was ist das P eines Dreiecks, wenn seine Seiten 6 cm, 7 cm und 3 cm sind?

Entscheidung:

Wir setzen die bekannten Werte in die Formel P = a + b + c ein und erhalten: P = 6 + 7 + 3 = 16 cm.

Antwort: 16 cm.

Problem Nummer 2

Es ist bekannt, dass die Basis eines gleichschenkligen Dreiecks 6 cm und die laterale Seite 4 cm beträgt. Finden Sie die P-Figur.

Entscheidung:

Für diesen Fall ist die Formel P = a + 2b geeignet, wir ersetzen die Werte: \ (P = 6 + 4 \ times2 = 14 \) cm.

Antwort: 14 cm.

Problem Nummer 3

Wir wissen, dass die Fläche eines Dreiecks 24 cm beträgt 2und der Radius des Beschriftungskreises beträgt 8 cm.

Entscheidung:

In diesem Fall berechnen wir P wie folgt: \ (P = \ frac {2S} r \) ... Mit den uns bereits bekannten Mengen erhalten wir: \ (P = \ frac {2 \ times24} 8 = 6 \) cm.

Antwort: 6 cm.

Problem Nummer 4

Ein gleichschenkliges Dreieck ist angegeben. Wir kennen die laterale Seite (4 cm) und die zur Basis abgesenkte Höhe (2 cm). Sie müssen den Umfang der Form berechnen.

Entscheidung:

Wir wissen, dass in diesem Fall P berechnet wird als \ (P = 2 \ sqrt {a ^ 2-h ^ 2} + 2a \) ... Mit den vorhandenen Werten stellt sich heraus: \ (P = 2 \ sqrt {4 ^ 2-2 ^ 2} +2 \ times2 = 4 \ sqrt3 + 4 \) cm.

Antwort: P = 4 \ sqrt3 + 4 cm.

Problem Nummer 5

Bei einem rechtwinkligen Dreieck mit Beinen von 5 cm und 7 cm. Bestimmen Sie den Umfang der Figur.

Entscheidung:

In die Formel \ (P = \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} + a + b \) Ersetzen Sie die bekannten Werte: \ (P = \ sqrt {5 ^ 2 + 7 ^ 2} + 5 + 7 = \ sqrt {74} +12 \) cm.

Antworten: \ (P = \ sqrt {74} +12 \) cm.

Bevor wir die Frage beantworten, wie man den Umfang eines Dreiecks findet, wiederholen wir den sogenannten Umfang eines Dreiecks.

Definition.

Der Umfang eines Dreiecks ist die Summe der Längen seiner Seiten.

formula perimetra treugolnika

Dreiecksumfangsformel für Dreieck ABC

\[{P_{\Delta ABC}} = AB + BC + AC\]

Wenn Sie das Dreieck mit unterschiedlichen Buchstaben aufrufen, sieht auch die Formel für den Umfang des Dreiecks anders aus.

kak naytiperime trtreugolnika

Die Formel für den Umfang eines Dreiecks-MNP lautet beispielsweise:

\[{P_{\Delta MNP}} = MN + NP + MP\]

Im Allgemeinen wird die Formel für den Umfang eines Dreiecks wie folgt geschrieben:

\[P = a + b + c,\]

Dabei sind a, b und c die Längen der Seiten des Dreiecks.

Auf diese Weise, Um den Umfang eines Dreiecks zu ermitteln, addieren Sie die Längen aller seiner Seiten.

Beispiele.

1) Finden Sie den Umfang eines Dreiecks mit Seiten 3 cm, 4 cm, 5 cm.

Entscheidung:

Nach der Formel zum Ermitteln des Umfangs eines Dreiecks

\[P = a + b + c,\]

wir haben:

\[P = 3 + 4 + 5 = 12(cm)\]

2) Finden Sie den Umfang des Dreiecks ABC, wenn AB = 10 cm, BC = 12 cm, AC = 15 cm.

Entscheidung:

Nach der Formel

\[{P_{\Delta ABC}} = AB + BC + AC\]

wir haben:

\[{P_{\Delta ABC}} = 10 + 12 + 15 = 37(cm)\]

Wie man den Umfang von Dreiecken einzelner Typen - gleichschenklig und gleichseitig - findet, werden wir später sehen.

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