Как найти наименьшее значение функции на отрезке: правила, примеры и особенности - OneKu

Исследование функций и их графиков – это тема, которой уделяется особое внимание в рамках школьной программы старших классов. Некоторые основы математического анализа – дифференцирования – включены в профильный уровень экзамена по математике. У некоторых школьников возникают проблемы с этой темой, так как они путают графики функции и производной, а также забывают алгоритмы. В этой статье будут рассмотрены основные типы заданий и способы их решения.

Что такое значение функции?

Проверочное слово к слову «скворец», корень и лексическое значениеВам будет интересно:Проверочное слово к слову «скворец», корень и лексическое значение

Математическая функция представляет собой особое уравнение. Оно устанавливает взаимосвязь между числами. Функция зависит от значения аргумента.

Значение функции рассчитывается по заданной формуле. Для этого следует подставить любой аргумент, который соответствует области допустимых значений, в эту формулу на место х и выполнить необходимые математические операции. Какие?

Как можно найти наименьшее значение функции, используя график функции?

Графическое изображение зависимости функции от аргумента называется графиком функции. Он строится на плоскости с определенным единичным отрезком, где по горизонтальной оси абсцисс откладывается значение переменной, или аргумента, а по вертикальной оси ординат – соответствующее ему значение функции.

Как найти значение функции в точке

Чем больше значение аргумента, тем правее он лежит на графике. И чем больше значение самой функции, тем выше находится точка.

О чем это говорит? Самым маленьким значением функции будет являться точка, которая лежит ниже всего на графике. Для того чтобы найти его на отрезке графика, нужно:

1) Найти и отметить концы этого отрезка.

2) Визуально определить, какая точка на этом отрезке лежит ниже всего.

3) В ответ записать ее числовое значение, которое можно определить, спроецировав точку на ось ординат.

Точки экстремума на графике производной. Где искать?

Однако при решении задач иногда дан график не функции, а ее производной. Для того чтобы случайно не допустить глупую ошибку, лучше внимательно читать условия, так как от этого зависит, где нужно искать точки экстремума.

Наибольшее значение функции

Горизонтальный перенос генов: основы генетики, история открытия, принцип действия и примерыВам будет интересно:Горизонтальный перенос генов: основы генетики, история открытия, принцип действия и примеры

Итак, производная - это мгновенная скорость возрастания функции. Согласно геометрическому определению производная соответствует угловому коэффициенту касательной, которая непосредственно проведена к данной точке.

Известно, что в точках экстремума касательная параллельна оси Ox. Это значит, что ее угловой коэффициент - 0.

Из этого можно сделать вывод, что в точках экстремума производная лежит на оси абсцисс или обращается в ноль. Но кроме того, в этих точках функция меняет свое направление. То есть после периода возрастания начинает убывать, а производная, соответственно, сменяется с положительной на отрицательную. Или наоборот.

Если производная из положительной становится отрицательной - это точка максимума. Если из отрицательной становится положительной - точка минимума.

Важно: если в задании требуется указать точку минимума или максимума, то в ответ следует записать соответствующее значение по оси абсцисс. Но в случае, если требуется найти значение функции, то предварительно нужно подставить соответствующее значение аргумента в функцию и рассчитать его.

Как находить точки экстремума с помощью производной?

Рассмотренные примеры в основном относятся к заданию под номером 7 экзамена, которое подразумевает работу с графиком производной или первообразной. А вот задание 12 ЕГЭ – найти наименьшее значение функции на отрезке (иногда – наибольшее) – выполняется без каких-либо чертежей и требует базовых навыков математического анализа.

Для его выполнения нужно уметь находить точки экстремума с помощью производной. Алгоритм их нахождения таков:

  • Найти производную от функции.
  • Приравнять ее к нулю.
  • Найти корни уравнения.
  • Проверить, являются ли полученные точки точками экстремума или перегиба.

Для этого нужно начертить схему и на получившихся промежутках определить знаки производной, подставляя числа, принадлежащие отрезкам, в производную. Если при решении уравнения вы получили корни двойной кратности – это точки перегиба.

  • Применив теоремы, определить какие точки являются точками минимума, а какие – максимума.

Вычисление наименьшего значения функции с применением производной

Покои - это многозначное слово. Что именно оно означает?Вам будет интересно:Покои - это многозначное слово. Что именно оно означает?

Однако, выполнив все эти действия, мы найдем значения точек минимума и максимума по оси абсцисс. Но как найти наименьшее значение функции на отрезке?

Что необходимо сделать для того, чтобы найти число, которому соответствует функция в конкретной точке? Нужно подставить в данную формулу значение аргумента.

Точки минимума и максимума соответствуют наименьшему и наибольшему значению функции на отрезке. Значит, чтобы найти значение функции, нужно рассчитать функцию, используя полученные значения х.

Важно! Если в задании требуется указать точку минимума или максимума, то в ответ следует записать соответствующее значение по оси абсцисс. Но в случае, если нужно найти значение функции, то предварительно следует подставить соответствующее значение аргумента в функцию и выполнить необходимые математические операции.

Что делать, если на данном отрезке отсутствуют точки минимума?

Но как найти наименьшее значение функции на отрезке, на котором отсутствуют точки экстремума?

Это значит, что на нем функция монотонно убывает или возрастает. Тогда в функцию нужно подставить значение крайних точек этого отрезка. Есть два пути.

1) Рассчитав производную и промежутки, на которых она положительна или отрицательна, сделать вывод о том, убывает функция на данном отрезке или возрастает.

В соответствии с ними подставить в функцию большее или меньшее значение аргумента.

Зависимость значения функции от знака производной

2) Просто подставить в функцию обе точки и сравнить полученные значения функции.

В каких заданиях нахождение производной необязательно

Как правило, в заданиях ЕГЭ все же нужно находить производную. Есть только пара исключений.

1) Парабола.

Как выглядит парабола

Вершина параболы находится по формуле.

Если a < 0, то ветви параболы направлены вниз. И ее вершина является точкой максимума.

Если a > 0, то ветви параболы направлены вверх, вершина – точка минимума.

Рассчитав точку вершины параболы, следует подставить ее значение в функцию и вычислить соответствующее значение функции.

2) Функция y = tg x. Или y = ctg x.

Эти функции являются монотонно возрастающими. Поэтому, чем больше значение аргумента, тем больше значение самой функции. Далее мы рассмотрим, как найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке с примерами.

Основные типы заданий

Задание: наибольшее или наименьшее значение функции. Пример на графике.

На рисунке вы видите график производной функции f (x) на интервале [-6; 6]. В какой точке отрезка [-3; 3] f (x) принимает наименьшее значение?

График производной функции

Итак, для начала следует выделить указанный отрезок. На нем функция один раз принимает нулевое значение и меняет свой знак – это точка экстремума. Так как производная из отрицательной становится положительной, значит, это точка минимума функции. Этой точке соответствует значение аргумента 2.

Решение задания

Ответ: 2.

Продолжаем рассматривать примеры. Задание: найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Найдите наименьшее значение функции y = (x - 8) ex-7 на отрезке [6; 8].

1. Взять производную от сложной функции.

y' (x) = (x - 8) ex-7 = (x - 8)' (ex-7) + (x - 8) (ex-7)' = 1 * (ex-7) + (x - 8) (ex-7) = (1 + x - 8) (ex-7) = (x - 7) (ex-7)

2. Приравнять полученную производную к нулю и решить уравнение.

y' (x) = 0

(x - 7) (ex-7) = 0

x - 7 = 0, или ex-7 = 0

x = 7; ex-7 ≠ 0, нет корней

3. Подставить в функцию значение крайних точек, а также полученные корни уравнения.

y (6) = (6 - 8) e6-7 = -2e-1

y (7) = (7 - 8) e7-7 = -1 * e0 = -1 * 1 = -1

y (8) = (8 - 8) e8-7 = 0 * e1 = 0

Ответ: -1.

Итак, в этой статье была рассмотрена основная теория о том, как найти наименьшее значение функции на отрезке, необходимая для успешного решения заданий ЕГЭ по профильной математике. Также элементы математического анализа применяются при решении заданий из части С экзамена, но очевидно, они представляют иной уровень сложности, и алгоритмы их решений сложно уместить в рамки одного материала.

Источник

В какой точке функция принимает наименьшее значение

Общая информация

Исследование функции — распространенная задача, которая показывает ее поведение и свойства. Одним из элементов считается нахождение максимума и минимума функции. Существуют специальные программы для нахождения этих значений (онлайн-калькулятор). Однако каждому следует понимать принцип нахождения, поскольку это может пригодиться в жизни.

Для решения такого типа задач необходим определенный «багаж» знаний, поскольку без него вообще не обойтись. В его состав входят следующие элементы:

Как найти наименьшее значение функции квадратного уравнения
  1. Нахождение области определения функции (ОДФ).
  2. Понятие дифференциала и основные методы его нахождения.
  3. Умение решать уравнения.
  4. Знание графиков простых функций.
  5. Основные типы функций, полуинтервал и интервал.

Все пять навыков приобрести несложно, кроме второго. В этом нужно подробно разобраться, поскольку очень важно уметь находить производные (дифференциалы) не только табличных элементарных функций, но и сложных. Важно знать основные свойства, которые применяются для нахождения производной.

Область определения

Область определения какой-либо функции вида y = f(x) — область значений аргумента, при которых она существует. У каждой функции существует два типа неизвестных: зависимые и независимые. К первым следует отнести переменную y, которая зависит от независимой переменной «х». Необходимо отметить, что бывают функции, в которых нет аргумента. Примером их считается функция вида y = const, где const — константа (любое число).

Область определения обозначается в теории литерой «D». Однако обозначение можно менять, когда исследуются несколько функций. Чтобы не путаться, специалисты рекомендуют следующую запись D(f(x)). Например, для y = x^2 - 27x и y = 12sinx ОДФ записывается таким образом: D(x^2 - 27x) и D(12sinx) соответственно.

Обозначение интервалов

Результатом решения задач на нахождение ОДЗ является определенный интервал. Важно правильно его обозначать, поскольку это существенно влияет на решение. Нужно руководствоваться следующими правилами:

Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке
  1. Жесткая граница обозначается квадратной скобкой «[» или «]». Она обозначает, что число входит включительно в этот интервал. Можно использовать не только одну скобку, но и две одновременно.
  2. Для обозначения числового значения, которое не входит в промежуток, пользуются круглыми скобками «(» и «)». Их можно применять одновременно.
  3. Типы границ можно комбинировать.
  4. Если нужно объединить интервалы, то следует использовать символ «U».

Очень важно правильно читать интервалы. Например, запись (1;4) читается следующим образом: переменная принимает значения, которые находятся в интервале от 1 не включительно до 4 не включительно. Это числа 2 и 3, поскольку 1 и 4 не входят в промежуток. Запись вида [5;10) читается таким образом: некоторое значение принадлежит интервалу от 5 включительно, до 10 не включительно.

Зависимость от типа

Функции различаются между собой. От этого и зависит нахождение их области определения. Они бывают простыми и сложными. Первые состоят из единичных элементов, а сложные включают в себя несколько типов. Их еще называют составными. Простые классифицируются на три вида:

Наименьшее значение производной по графику функции
  1. Алгебраические: рациональные и иррациональные.
  2. Тригонометрические: sin, cos, tg и ctg.
  3. Трансцендентные: степенные, показательные и логарифмические.

Рациональные бывают целыми и дробными. Они не включают в себя выражения, содержащие такие элементы: корень, степень, логарифм и тригонометрические функции. D(f) этих функций — все действительные числа (Z). Если она является дробной, то это означает, что в ее числителе и (или) знаменателе находится аргумент, значение которого не должно обращать ее в пустое множество.

Когда под корнем находится выражение, содержащее независимую переменную, то она называется иррациональной. В этом случае D(f) — множество Z, кроме тех, которые превращают выражение под корнем четной степени в отрицательное значение. Функция, представленная степенными выражениями, имеет D(f) = Z, но только тогда, когда значение аргумента не превращает функцию в пустое множество.

Метод нахождения

Для решения любой задачи нужно применять определенные правила. Они называются алгоритмом. Для каждого типа функций существует конкретный вариант решения. Для дробной он является следующим:

Как определить наибольшее и наименьшее значение функции
  1. Найти корни уравнения знаменателя, приравнивая его к 0.
  2. Определить интервал, значения из которого может принимать аргумент.

В случае, когда выражение является иррациональной функцией, корень которой является четным, следует решать не уравнение, а неравенство. Его значение не должно быть меньше 0. Для логарифмического типа выражение натурального логарифма (ln) должно быть всегда больше 0.

Для sin(x) и cos(x) областью определения является множество значений Z. Однако для tg(x) и ctg(x) следует помнить, что аргумент не должен принимать значение x = (Pi / 2) + Pi * k и x = Pi * k соответственно. Следует отметить, что коэффициент k принадлежит множеству чисел Z.

Для примера нужно разобрать задачу, в которой следует найти D(3x / [(x - 1) * (x + 1) * (10 - x)^(1/2)]). Решать ее необходимо по такому алгоритму:

  1. Знаменатель является сложным. Он состоит из двух выражений: (x - 1) * (x + 1) и (10 - x)^(1/2).
  2. Первое выражение (решить уравнение): (x - 1) * (x + 1) = 0. Оно имеет два корня: x1 = -1 и x2 = 1. Числовой промежуток: (-бесконечность;-1) U (1;+бесконечность).
  3. Второе (неравенство): (10 - x) < 0. Интервал: (-бесконечность;10].
  4. Результат (объединение всех интервалов): (-бесконечность;-1) U (1;10].

Данный пример показывает особенность решения задачи, которая заключается в объединении двух алгоритмов. Это довольно часто практикуется. Результат — объединение трех множеств, при объединении которых получается два интервала.

Сведения о производных

Производная — скоростное изменение какой-либо функции. Эта характеристика присуща не всем, поскольку некоторые из них являются постоянными. Если она имеет производную в некоторой точке, то является дифференцируемой. Дифференцирование применяется не только для исследования функций, но и во многих отраслях науки и техники.

Для нахождения дифференциалов необходима таблица производных. Кроме того, следует освоить все основные правила, поскольку не во всех случаях функция соответствует одному из табличных значений. Для этого нужно воспользоваться некоторыми свойствами. Математики-специалисты рекомендуют применять на начальных стадиях обучения алгоритм нахождения производной, который позволяет существенно сократить время выполнения задания, а также количество ошибок.

Таблица дифференциалов

В некоторых простых задачах возникает необходимость определить производную некоторой элементарной функции. Для этих целей применяется специальная таблица, в которой записаны основные простые выражения.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции

Данные значения были получены практическим методом — нахождением отношения приращения функции к приращению аргумента. Необходимо учитывать, что последний стремится к нулевому значению.

Однако иногда приходится упрощать выражение, а потом находить его производную. Для этого существует специальный простой алгоритм:

  1. Выполнить математические преобразования (упростить выражение).
  2. Найти производную по таблице.

Данный алгоритм справедлив только для простых выражений. Для сложных функций нужно руководствоваться некоторыми свойствами.

Основные свойства

Когда выражение не совпадает с табличным значением или состоит из нескольких элементов, то нужно применять специальные правила. Ими являются следствия из доказательств различных теорем. К ним можно отнести следующие:

Вычисление наименьшего значения функции на отрезке
  1. Если константа A (в некоторых источниках «С»), то при дифференцировании ее можно выносить за знак производной: (A * f(x))' = A(f(x))'.
  2. Дифференциал суммы или разности 2 и более функций эквивалентен дифференциалу каждой из них: (w(x) + z(x))' = w'(x) + z'(x) и (w(x) - z(x))' = w'(x) - z'(x).
  3. Производная произведения 2 функций соответствует сумме, которая является произведением каждой из них на дифференциал другой: (w(x) * z(x))' = (w'(x) * z(x) + w(x) * z'(x).
  4. Если нужно взять производную дробной функции вида w(x) / z(x), то результат действия является дробью, числитель которой равен разности произведений дифференциала числителя на знаменатель, и дифференциала знаменателя, умноженного на числитель. Знаменатель результирующей дроби соответствует знаменателю исходной функции, возведенного в квадрат: (w(x) / z(x))' = [(w'(x) * z(x) - w(x) * z'(x)] / (z(x))^2.

В некоторых случаях функция является сложной. Для нахождения ее дифференциала нужно разбить ее на составные функции. Затем взять отдельно производную каждого из элементов. Результат — произведение дифференциалов всех элементов. Например, нужно найти дифференциал z = (1/8 * sin (4x^4 - 3x^3 + 6). Алгоритм решения следующий:

  1. По правилу нужно вынести константу, равную 1/8.
  2. Состоит из 2 частей: sin и (4x^4 - 3x^3 + 6).
  3. Производная последней - дифференциал разности (2 свойство): [4x^4 - 3x^3 + 6]' = ((4 * x^3) / 4) - ((3 * x^2) / 3) + 0 = x^3 - x^2.
  4. Для второй: (sinx)' = cosx.
  5. Итоговый результат: z' = (1/8) * (x^3 - x^2) * sin (4x^4 - 3x^3 + 6).

Очень важно уметь разбивать выражение на части, поскольку от этого зависит результат решения. В некоторых случаях выражение можно упростить.

Наибольшее и наименьшее значения

Задачи на нахождения максимума и минимума применяются не только в математике, но и в бизнесе, науке, производстве и т. д. Например, вычисление наименьшего значения функции на отрезке (за последний промежуток времени) позволяет узнать минимизацию издержек производства. Кроме того, можно определить максимальную прибыль, найти оптимальную загрузку техники и т. д. Данные значения следует искать на каких-либо интервалах. Они классифицируются следующим образом:

  1. Отрезок: [a;b].
  2. Открытый тип: (a;b), (a;b] и [a;b).
  3. Промежуток бесконечности (в некоторой литературе обозначается «inf»): (-бесконечность;а], (-inf;а), [a;+inf), (a;+inf) и (-inf;+inf).

Следует отметить, что наибольшее и наименьшее значение производной по графику функции можно также найти, однако расчетный метод намного проще.

Универсальный алгоритм

Для данной операции, как и для других математических действий, существуют определенные правила или последовательность действий, которые называются алгоритмом. Специалисты для решения различных задач в любых сферах рекомендуют использовать их. Они позволяют не только существенно экономить время, минимизируя количество вычислений, но и с их помощью можно избежать некоторых ошибок. Суть алгоритма очень проста. Он состоит из определенной последовательности таких шагов:

Как находить наибольшее и наименьшее значение функции
  1. Найти D(f(x)).
  2. Проверить вхождение заданного интервала.
  3. Взять производную и выполнить поиск всех точек, в которых она не существует (их может и не быть).
  4. Приравнять к нулю результат, полученный в пункте 4, и найти корни уравнения. Это и будут стационарные точки, но они могут не существовать.
  5. Подставить в исходную функцию значения границ и стационарные точки.
  6. Выбрать из них MAX(f(x)) и MIN(f(x)).

Выполнение шестого шага зависит от вида интервала. В некоторых случаях можно просто подставить значение, а в других — найти предел. Если указана скобка «[» или «]», то x равен значению возле этой скобки. Когда указаны круглые скобки, нужно брать предел x = lim (f(x)), где x стремится к числовому значению или бесконечности, которые находятся возле скобки (x->a). Например, (a;+inf): х = lim [f(x)], где x->a и x->+inf.

Для нахождения минимального и максимального значения функции достаточно материала, изложенного выше. Специалисты рекомендуют разобраться с теорией, а затем переходить к практике.

Примеры решений

Дана квадратичная функция y = x^2 + 6x + 9. Необходимо найти наименьшее значение функции квадратного уравнения на отрезке [1;5]. Для этой цели нужно воспользоваться алгоритмом:

  1. D(y): все множество Z.
  2. Отрезок входит в D(y).
  3. Производная: y' = [x^2 + 6x + 9]' = 2x + 6 (существует во всех точках).
  4. Стационарные точки (y' = 0): 2x + 6 = 0. Отсюда, x = -3.
  5. Подставить в исходное выражение: y(-3) = (-3)^2 + 6 * (-3) + 9 = 9 - 18 + 9 = 0, y(1) = (1)^2 + 6 * (1) + 9 = 1 + 6 + 9 = 16 и y(5) = (5)^2 + 6 * (5) + 9 = 25 + 30 + 9 = 64.
  6. Максимум и минимум (с учетом стационарной точки и интервала): MIN(y) = 0 и MAX(y) = 64.

Одним из простейших типов задач является следующая: найдите наибольшее значение линейной функции z = 5x + 10 на отрезке [-3;3]. Для ее решения можно также воспользоваться алгоритмом:

Как найти наибольшее и наименьшее значение функции
  1. D(z) — все значения от бесконечно малого до бесконечно большого чисел.
  2. Промежуток, на котором нужно найти максимум и минимум, полностью входит в D(f).
  3. Дифференциал: z' = 5 (существует во всех точках, а стационарных точек нет вообще).
  4. Минимум и максимум: MIN(z(-3)) = 5 * (-3) + 10 = -5 и MAX(z(3)) = 5 * (3) + 10 = 25.

Последнюю задачу необязательно решать по алгоритму, поскольку она считается простейшей. Математики рекомендуют тренироваться в нахождении MIN и MAX функции, поскольку только практика позволяет быстро решать задачи.

Таким образом, для нахождения максимального и минимального значений заданной функции необходимо пользоваться специальным универсальным алгоритмом. Кроме того, нужно правильно находить дифференциалы, область определения, а также разбираться в интервалах.

Задание 12 первой части Профильного ЕГЭ по математике — это нахождение точек максимума и минимума функции, а также наибольших и наименьших значений функции с помощью производной.

Вот какие типы задач могут встретиться в этом задании:

Нахождение точек максимума и минимума функций

Исследование сложных функций

Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке

Нахождение точек максимума и минимума функций

1. Найдите точку максимума функции y=-{{x^2+289}\over{x}}.

Найдем производную функции.

y^{

Приравняем производную к нулю. Получим:

x^2=289\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} \ x=17, \hfill \\ x=-17. \end{array} \right.

Исследуем знаки производной.

В точке x = 17 производная y меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, x= 17 — точка максимума функции y(x).

Ответ: 17.

2. Найдите точку минимума функции y=2x^2-5x+lnx-3.

Найдем производную функции.

y{

Приравняем производную к нулю.

4x-5+{{1}\over{x}}=0\Leftrightarrow 4x^2-5x+1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} \ x=1, \\ x={{1}\over{4}}. \end{array} \right.

Определим знаки производной.

В точке x = 1 производная y меняет знак с «минуса» на «плюс». Значит, x= 1 — точка минимума функции y(x).

Ответ: 1.

Исследование сложных функций

3. Найдите точку максимума функции y=2^{5-8x-x^2}.

Перед нами сложная функция y=2^{5-8x-x^2}. Возможно, вы знаете формулы производной сложной функции. Но вообще-то их изучают на первом курсе вуза, поэтому мы решим задачу более простым способом.

Так как функция y=2^t монотонно возрастает, точка максимума функции y=2^{5-8x-x^2}.будет при том же x_0, что и точка максимума функции t\left(x\right)=5-8x-x^2. А ее найти легко.

t^{

t^{ при x=-4. В точке x = -4 производная {{ t}}^{{ меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, x= - 4 — точка максимума функции { t}\left({ x}\right).

Заметим, что точку максимума функции t\left(x\right)=5-8x-x^2 можно найти и без производной.

Графиком функции t\left(x\right) является парабола ветвями вниз, и наибольшее значение t\left(x\right) достигается в вершине параболы, то есть при x=-\frac{8}{2}=-4.

Ответ: - 4.

4. Найдите абсциссу точки максимума функции y=\sqrt{4-4x-x^2}.

Напомним, что абсцисса — это координата по X.

Снова сложная функция. Применяем тот же прием, что и в предыдущей задаче.

Так как функция y=\sqrt{z} монотонно возрастает, точка максимума функции y=\sqrt{4-4x-x^2} является и точкой максимума функции t\left(x\right)=4-4x-x^2.

Это вершина квадратичной параболы t\left(x\right)=4-4x-x^2;x_0=\frac{-4}{2}=-2.

Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке

5. Найдите наибольшее значение функции y=x^3+2x^2-4x+4 на отрезке [-2;0].

Мы помним, что наибольшее значение функции на отрезке может достигаться либо в точке максимума, либо на конце отрезка. Эти случаи показаны на рисунке.

Будем искать точку максимума функции y=x^3+2x^2-4x+4 с помощью производной. Найдем производную и приравняем ее к нулю.

y

y

{3x}^2+4x-4=0;

D=64;x=\frac{-4\pm 8}{6};x_1=\frac{2}{3},x_2=-2.

Найдем знаки производной.

В точке x = - 2 производная равна нулю и меняет знак с "+" на "-". Значит, x = - 2 — точка максимума функции y(x). Поскольку при x\in [-2;0] функция y(x) убывает, y_{max}\left(x\right)=y\left(-2\right)=12. В этой задаче значение функции на концах отрезка искать не нужно.

Ответ: 12

6. Найдите наименьшее значение функции y={4x}^2-10x+2lnx-5 на отрезке [0,3;3].

Найдем производную функции y={4x}^2-10x+2lnx-5 и приравняем ее к нулю.

y при x_1=1,x_2=\frac{1}{4}.

Найдем знаки производной.

Точка x_1=1 — точка минимума функции y\left(x\right). Точка x_2=\frac{1}{4} не лежит на отрезке [0,3;1]. Поэтому

 и  Значит, наименьшее значение функции на отрезке \left[0,3;1\right] достигается при x=1. Найдем это значение.

y_{min}\left(x\right)=y\left(1\right)=4-10-5=-11

Ответ: -11.

7. Найдите наименьшее значение функции y=9x-{\ln \left(9x\right)}+3 на отрезке \left[\frac{1}{18};\frac{5}{18}\right].

Иногда перед тем, как взять производную, формулу функции полезно упростить.

y=9x-{\ln \left(9x\right)}+3=9x-{\ln 9-{\ln x}}+3.

Мы применили формулу для логарифма произведения. y при x=\frac{1}{9}.

Если  то  Если , то 

Значит, x=\frac{1}{9} — точка минимума функции y(x). В этой точке и достигается наименьшее значение функции на отрезке \left[\frac{1}{18};\frac{5}{18}\right].

y_{min}\left(x\right)=y\left(\frac{1}{2}\right)=1+3=4

Ответ: 4

8. Найдите наибольшее значение функции y(x)=14x-7tgx-3,5\pi +11 на отрезке \left[-\frac{\pi }{3};\frac{\pi }{3}\right].

Найдем производную функции y(x)=14x-7tgx-3,5\pi +11. y

Приравняем производную к нулю: 14-\frac{7}{{cos}^2x}=0

{cos}^2x=\frac{1}{2}

{cos}^2x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}. Поскольку x\in \left[-\frac{\pi }{3};\frac{\pi }{3}\right], y если x=\pm \frac{\pi }{4}.

Найдем знаки производной на отрезке \left[-\frac{\pi }{3};\frac{\pi }{3}\right].

При x=\frac{\pi }{4} знак производной меняется с «плюса» на «минус». Значит, x=\frac{\pi }{4} — точка максимума функции y(x).

Мы нашли точку максимума, но это еще не все. Сравним значения функции в точке максимума и на конце отрезка, то есть при x=-\frac{\pi }{3} и x =\frac{\pi }{4}.

y\left(\frac{\pi }{4}\right)=-7+11=4

Мы нашли, что y_{max}\left(x\right)=y\left(\frac{\pi }{4}\right)=-7+11=4.

Заметим, что если вам попадется такая задача в первой части ЕГЭ по математике, то находить значение функции при -\frac{\pi }{3} не обязательно. Как мы видим, это значение — число иррациональное. А в первой части ЕГЭ по математике ответом может быть только целое число или конечная десятичная дробь.

Ответ: 4

9. Найдите наименьшее значение функции y=e^{2x}-{8e}^x+9 на отрезке [0;2].

Снова сложная функция. Запишем полезные формулы:

{{(e}^{-x})}^{

{\left(e^{cx}\right)}^{

{(e}^{x+a})

Найдем производную функции y=e^{2x}-{8e}^x+9.

y

y если e^x=4. Тогда x=ln4.

 При x=ln4 знак производной меняется с «минуса» на «плюс». Значит, x=ln4 — точка минимума функции y(x). y\left(ln4\right)=4^2-8\cdot 4+9=16-32+9=-7.

10. Найдите наибольшее значение функции y=12cosx+6\sqrt{3}x-2\sqrt{3}\pi +6 на отрезке \left[0;\frac{\pi }{2}\right]

Как всегда, возьмем производную функции и приравняем ее к нулю.

y

y 12sinx=6\sqrt{3}

sinx=\frac{\sqrt{3}}{2};

По условию, x\in \left[0;\frac{\pi }{2}\right]. На этом отрезке условие sinx=\frac{\sqrt{3}}{2} выполняется только для x=\frac{\pi }{3}. Найдем знаки производной слева и справа от точки x=\frac{\pi }{3}.

В точке x_0=\frac{\pi }{3} производная функции меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, точка x_0=\frac{\pi }{3} — точка максимума функции y(x). Других точек экстремума на отрезке \left[0;\frac{\pi }{2}\right] функция не имеет, и наибольшее значение функции { y=12cosx+6}\sqrt{{ 3}}{ }{ x}{ -}{ 2}\sqrt{{ 3}}{ }\pi { +6} на отрезке \left[{ 0};\frac{\pi }{{ 2}}\right] достигается при { x=}\frac{\pi }{{ 3}}.

y_{max}\left(x\right)=y\left(\frac{\pi }{3}\right)=12. Ответ: 12.

11.Найдите наименьшее значение функции y=16x-6sinx+6 на отрезке \left[0;\frac{\pi }{2}\right].

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю.  — нет решений.

Что это значит? Производная функции y=16x-6sinx+6 не равна нулю ни в какой точке. Это значит, что знак производной в любой точке одинаков, а функция не имеет экстремумов и является монотонной.

Поскольку cosx\le 1, получим, что  для всех x, и функция y\left(x\right)=16x-6sinx+6 монотонно возрастает при x\in \left[0;\frac{\pi }{2}\right].

Значит, наименьшее свое значение функция принимает в левом конце отрезка \left[{ 0};\frac{\pi }{{ 2}}\right], то есть при x=0.

y_{min}\left(x\right)=y\left(0\right)=6.

Ответ: 6

Добавить комментарий